■ - SE的思考

　で、眠いので本日もちと手を抜いて不思議な数学でーす。

$S=1+2+3+4+...$
$T=1-2+3-4+...$
とおきます。
$T$ を変形して、
$T=(1+2+3+4+...)-2(2+4+6+8+...)$
$=(1+2+3+4+...)-4(1+2+3+4+...)$
$=S-4S$
$=-3S$ −−−(1)
一方、
$x-x^2+x^3-x^4+...=\frac{x}{1+x}$ −−−(2)
となります。(2)式の両辺を微分して、
$1-2x+3x^2-4x^3+...=\frac{1}{(1+x)^2}$ −−−(3)
(3)式において、 $x=1$ とすると、
$1-2+3-4+...=\frac{1}{4}$ −−−(4)
(4)式の左辺は $T$ と等しい。よって(1)式より、
$-3S=\frac{1}{4}$
∴ $S=-\frac{1}{12}$
したがって、
$1+2+3+4+...=-0.83333333.....$ −−−(5)
となる。