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　さてと、本日は久々に数学でもといてみるかな。

問題
図は、直角三角形ABCの一辺BCを2倍し、新しい直角三角形ABDを作ったものです。
∠ADBが∠ACBのちょうど半分の大きさになるのは、∠ACBが何度のときでしょうか。
もし、そのような∠ACBが存在しないなら、その証明もしてください。
(できれば三角関数を使わずに解いてください)

　たま〜にこんな問題出してくる友人からの出題です。うむ、いっちょやりますか。
　まず、三角関数を使えば楽勝なのでこれはやりません。結論から言えばそのような∠ACBは存在しませんね。以下証明：

　まず三角形ABDの外接円を考える。∠ABD=90゜なので線分ADはこの外接円の中心を通ります。仮にADの中点をOとします。このとき、∠AOB=2×∠ADBです。(円周角の定理)次に三角形AOBの外接円を考えます。いま仮にこの外接円上に点Cが存在すると仮定すると、∠AOB=∠ACBとなります。よって∠ACB=2×∠ADBとなります。
　つまり、最初の命題は「四角形ABCOに外接円が存在することを証明し、そのときの∠ACBを求めよ」という具合に置き換えることができます。(ふぅ、ここまでくればもう一息)
　さて、これをどう証明するかですが私は中点連結定理と円に内接する四角形の性質を利用しました。点O、点Cはそれぞれ辺AD、辺BDの中点ですので辺COと辺ABは平行ということになります。よって∠OCD=∠OCB=90°このとき∠OCB+∠BADは明らかに180°ではありませんし、∠ABD+∠AOCも同様に180°ではありません。
　∴四角形ABCDは外接円を持たず、命題は証明されます。

　う〜む、まったく美しくない証明になってしまった。やはり頭が固いのか・・・。たぶんいくらでも美しい証明はあると思うので暇な人は考えてみてください。